Tagliatelle vs. Fusilli - Ποιό ζυμαρικό θα αστοχήσει πρώτο;

[AlexisPap]

Κατά τη γνώμη μου κακώς μεταφέρθηκε το thread στην Κουβέντα!

 

+1000

 

Ας ξαναδιατυπώσουμε το πρόβλημα:

 

Δύο δοκοί ίδιου μήκους, της ίδιας ορθογωνικής διατομής (Α), υποβάλλονται σε θλίψη (Ν) και ζητείται το φορτίο αστοχίας.

Η πρώτη είναι η κλασσική δοκός που γνωρίζουμε (ταλιατέλα)

Η δεύτερη είναι συνεστραμένη περί τον κεντροβαρικό άξονα, που σημαίνει ότι κάθε επόμενη διατομή έχει τους κύριους άξονες περιεστραμένους κατά γωνία dφ (φουσίλι)

 

Και οι δύο δοκοί περικλείουν τελικά υλικό ίδιου όγκου.

 

Εφόσον ο φίλος leonardo δεν ανέφερε μήκος δοκού (συγνώμη, ζυμαρικού) δεν θα ασχοληθούμε με φαινόμενα δευτέρας τάξεως. Είναι ωστόσο προφανές ότι μικρότερη αντοχή θα έχει το φουσίλι. Γιατί όμως;

 

Αν υποθέσουμε κατάλληλες συνοριακές συνθήκες (σε κεντροβαρικό σύστημα κυλινδρικών συντεταγμένων πάκτωση με αδέσμευτο τον ακτινικό βαθμό ελευθερίας σε στροφή και μετατόπιση) τότε η εντατική κατάσταση και για τις δύο περιπτώσεις είναι πανομοιότυπη και σταθερή σε όλο το μήκος των δοκών. Επομένως μπορούμε να εξετάσουμε απειροστά στοιχεία των δοκών και να γενικεύσουμε το συμπέρασμα στο σύνολο της κάθε δοκού.

 

Περίπτωση ταλιατέλα:

καθαρότατη μονοαξονική θλίψη. Σε κάθε θέση υπάρχει μόνο η σχ (έστω χ ο διαμήκης άξονας) που ισούται με Ν/Α. Αυτό αποδεικνύεται ευκολότατα από τις συνθήκες ισορροπίας. Άρα σ1=σχ=Ν/Α

 

Περίπτωση φουσίλι:

Υπάρχει προφανώς πάλι η η σχ, της οποίας η μέση τιμή είναι Ν/Α. Όμως τώρα δεν μπορούμε να πούμε ότι η σχ είναι σταθερή. Αντιθέτως είναι προφανές ότι μεταβάλετε από θέση σε θέση εντός της διατομής. Επιπλέον αν εξετάσουμε ένα τμήμα της δοκού πεπερασμένου μήκους θα διαπιστώσουμε από τις συνθήκες ισορροπίας ότι υπάρχει και στρέψη. Άρα διατμητικές τάσεις.

Άρα η σ1 > σχ. Επίσης σε κάποιες θέσεις έχουμε σχ > Ν/Α.

 

Επομένως, το φουσίλι θα ικανοποιήσει τυχόν κριτήριο αστοχίας για μικρότερο φορτίο Ν. Δηλαδή θα αστοχήσει πρώτο.

[AlexisPap]

Τώρα, όσον αφορά στον λυγισμό, τα πράγματα δεν είναι τόσο αυτονόητα. Τα χαρακτηριστικά της δοκού μεταβάλλονται κατά μήκος της δοκού. Ακόμη και η ελαστική γραμμή λόγω κάμψης δεν είναι επίπεδη...

 

Ας θεωρήσουμε δοκούς ικανού μήκους, έτσι ώστε η δοκός από φουσίλι να περιλαμβάνει πολλές σπείρες. Τόσες ώστε να μην μας απασχολούν τα συγκεκριμένα χαρακτηριστικά της κάθε διατομής, αλλά να μπορούμε να υποθέσουμε ότι όλη η δοκός έχει ενιαία αδρανειακά χαρακτηριστικά.

 

Η ταλιατέλα είναι η γνωστή δοκός ορθογωνικής διατομής με Ιχ > Ιψ. Για τον λυγισμό κρίσιμο μέγεθος είναι το iψ = sqr(Ιψ/Α).

 

Το φουσίλι λόγω της σπειροειδούς μορφής και του ικανού μήκους παρουσιάζει ενιαία δυσκαμψία ανεξαρτήτως αξόνων (όλοι οι άξονες είναι κύριοι). Ι'χ = Ι'ψ. Αλλά πόσο είναι το Ι';

Σε κάθε θέση βρίσκουμε τα Ιχ, Ιψ μέσω Steiner. Αλλά αυτά δεν σχετίζονται άμεσα με την μέση τιμή Ι'. Η μέση τιμή Ι' είναι ροπή αδρανείας μίας δοκού κυκλικής διατομής, για την οποία η δοκός θα απορροφήσει ίδια ενέργεια με το φουσίλι όταν υποβληθεί σε μοναδιαία καμπτική καταπόνηση.

Είναι προφανές ότι σε σχέση με τα Ιχ, Ιψ της ταλιατέλας ισχύει: Ιψ < Ι' < Ιχ.

 

Άρα η ακτίνα αδρανείας του φουσίλι είναι μεγαλύτερη εκείνης του ασθενούς άξονα της ταλιατέλας. Δηλαδή η ταλιατέλα είναι πιο ευαίσθητη σε καμπτικό λυγισμό.

 

 

Υ.Γ. Έγραψα ότι "Είναι προφανές ότι σε σχέση με τα Ιχ, Ιψ της ταλιατέλας ισχύει: Ιψ < Ι' < Ιχ.". Γιατί είναι προφανές; μήπως δεν ισχύει πάντα;

Επομένως ως προς τον λυγισμό η διατύπωση του προβλήματος θα μπορούσε να είναι η εξής: Ένα φουσίλι και μία ταλιατέλα υποβάλλονται σε μοναδιαία κάμψη κατά τον ασθενή άξονα. Ποιό ζυμαρικό εμφανίζει το μεγαλύτερο βέλος;

[CostasV]

Έγραψα ότι "Είναι προφανές ότι σε σχέση με τα Ιχ, Ιψ της ταλιατέλας ισχύει: Ιψ < Ι' < Ιχ.". Γιατί είναι προφανές; μήπως δεν ισχύει πάντα;

 

 

Για μένα είναι προφανές. Ωστόσο μία μαθηματική απόδειξη (που δεν μπορώ να δώσω) θα πρόσθετε μία όμορφη πινελιά στο πίνακα (ή καλύτερα να πω στην πιατέλα; ) των ζυμαρικών.

[AlexisPap]

Ωραία πρόκληση...

 

Για να κάνουμε την απόδειξη θα θεωρήσουμε ότι υποβάλουμε την δοκό σε ομοιόμορφη καθαρή κάμψη. Προφανώς η δοκός φουσίλι θα αποκτήσει μεταβλητή καμπυλότητα:

- Στις θέσεις εκείνες όπου το διάνυσμα της ροπής είναι παράλληλο με τον ισχυρό κύριο άξονα της διατομής η καμπυλότητα θα λαμβάνει την ελάχιστη τιμή, ίση με εκείνη που θα εμφάνιζε μία ταλιατέλα καμπτόμενη στο ισχυρό της επίπεδο.

- Στις θέσεις εκείνες όπου το διάνυσμα της ροπής είναι παράλληλο με τον ασθενή κύριο άξονα της διατομής η καμπυλότητα θα λαμβάνει την ελάχιστη τιμή, ίση με εκείνη που θα εμφάνιζε μία ταλιατέλα καμπτόμενη στο ασθενές της επίπεδο.

Σε όλες τις ενδιάμεσες θέσεις η καμπυλότητα θα λαμβάνει ενδιάμεσες τιμές. Αν λοιπόν ορίσουμε ως μέση καμπυλότητα την καμπυλότητα που αντιστοιχεί στο κυκλικό τμήμα που προσαρμόζεται καλύτερα στην μη κυκλική ελαστική γραμμή του φουσίλι (που σημαίνει ότι το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της διαφοράς ελαστική γραμμή μείον κυκλική καμπύλη θα ισούται με μηδέν), τότε η μέση δυσκαμψία Ι΄ που αντιστοιχεί στην μέση καμπυλότητα θα έχει τιμή κείμενη μεταξύ των Ιχ και Ιψ.

 

Το παραπάνω σκεπτικό δεν είναι απόδειξη. Διότι λόγω της μορφής του φουσίλι δεν ξέρουμε αν ισχύει η επιπεδότητα των διατομών.Φοβούμαι επομένως ότι η απόδειξη θα περιλαμβάνει και διαφορικές εξισώσεις. Η πρόκληση είναι όμορφη, αν βρω λύση θα την γράψω σε συνέχεια (ή, όποιος άλλος βρει, ας την γράψει...).

[Γιάννης]

:offtopic:

Αν είχα ανακαλύψει αυτό το φόρουμ όταν ήμουνα φοιτητής θα ήμουνα ευτυχισμένος μα τον τουτάτι...

Τώρα δυστυχώς δεν έχω χρόνο να αναλύσω τέτοια πράγματα...

[CostasV]

... Τα χαρακτηριστικά της δοκού μεταβάλλονται κατά μήκος της δοκού. Ακόμη και η ελαστική γραμμή λόγω κάμψης δεν είναι επίπεδη...

...

 

Δεν μπορώ να σκεφτώ κάποιο (οποιοδήποτε) παράδειγμα συμμετρικής, ως προς τον άξονα της, δοκού, όπως το φουσίλι, που η ελαστική του γραμμή να μην είναι επίπεδη.

 

Εχω την εντύπωση ότι (τουλάχιστον) οι δοκοί που οι διατομές τους σε κάθε σημείο του άξονά τους (που συνδέει τα δύο άκρα τους), είναι συμμετρικές ως προς τον άξονά αυτό, θα έχουν επίπεδη ελαστική γραμμή.

 

Ερώτηση: Σε δοκό με διατομή Γ, η ελαστική γραμμή δεν είναι επίπεδη;

[AlexisPap]

Μία ορθογωνική δοκός που κάμπτεται με το διάνυσμα της ροπής να παρουσιάζει κλίση ως προς τους κύριους άξονες, εμφανίζει βέλος που δεν είναι κάθετο στο διάνυσμα της ροπής. Πρόκειται για διαξονική κάμψη: Δυνάμει γραμμικότητας κάνουμε επαλληλία δύο καταστάσεων: Δύο συνιστώσες της ροπής παράλληλες στους κύριους άξονες, υπολογισμός βελών κατά y και z, και έπειτα υπολογισμός του συνισταμένου βέλους της δοκού. Επομένως η ελαστική γραμμή είναι επίπεδη, αλλά το επίπεδό της δεν είναι κάθετο στην ροπή.

 

Ας δούμε τώρα το φουσίλι. Για ευκολία, ας θεωρήσουμε ένα φουσίλι με πολύ αραιό βήμα, ώστε να ισχύει η αρχή του Bernoulli. Στην περίπτωση αυτή το #15 είναι απόδειξη. Σε κάθε απειροστό τμήμα της δοκού, στο οποίο οι κύριοι άξονες δεν είναι παράλληλοι / κάθετοι στο διάνυσμα της ροπής, το επίπεδο της ελαστικής γραμμής παρουσιάζει κάποια κλίση ως προς την ροπή, ανάλογα με την γωνία στροφής. Όμως στις θέσεις όπου οι άξονες της διατομής είναι προσανατολισμένοι με το διάνυσμα της ροπής το επίπεδο της ελαστικής γραμμής ενός απειροστού τμήματος της δοκού είναι κάθετο στο διάνυσμα της ροπής. Άρα η ελαστική γραμμή της δοκού είναι μία μη επίπεδη καμπύλη.

 

Παράδειγμα:

Φουσίλι με λόγο ύψους / πλάτους διατομής 3/1

Edit: διόρθωση: οι αναλογίες της διατομής του διαγράμματος είναι 2,5:1:

 

 

α) διάγραμμα της γωνίας που σχηματίζει το βέλος ως προς το κάθετο στην ροπή επίπεδο / κλίση της διατομής ως προς το κάθετο στην ροπή επίπεδο.

 

β) διάγραμμα καμπυλότητας (βαθύ μπλέ) και της προβολής της καμπυλότητας στο κάθετο στην ροπή επίπεδο (γαλάζιο) / κλίση της διατομής ως προς το κάθετο στην ροπή επίπεδο.

[CostasV]

Πρώτη βιαστική ερώτηση: Γιατί εμφανίζεται η ασυμμετρία στο διάγραμμα (α) ; Δηλαδή η μέγιστη γωνία μεταξύ βέλους και του καθέτου στην ροπή επιπέδου, δεν θα έπρεπε να είναι σε ένα "ενδιάμεσο" σημείο ;

 

Παράκληση: Να μεταφερθεί η συζήτηση σε μία τεχνική κατηγορία

 

edit: AlexisPap, σε διατομή Γ η ελαστική γραμμή είναι επίπεδη. Σωστά; Αλλά το επίπεδο της ελαστικής γραμμής δεν είναι κάθετο στην ροπή κάμψης; Το καταλαβαίνω καλά;

[AlexisPap]

Δεν είναι ασυμμετρία. Παρουσιάζω το διάγραμμα από 0 μέχρι π/2 (90°). Από π/2 μέχρι π το διάγραμμα θα είναι συμμετρικό αυτού που παρουσίασα. Στις επόμενες περιόδους απλώς επαναλαμβάνονται.

 

Σε κάθε δοκό σταθερής διατομής η ελαστική γραμμή είναι επίπεδη. Το επίπεδό της είναι κάθετο στην ροπή, εφόσον η ροπή είναι κάθετη / παράλληλη με τους κύριους άξονες της διατομής.

[CostasV]

Για ποιά τιμή x εμφανίζεται η μέγιστη τιμή y στο διάγραμμα (α);

 

Εάν δεχτούμε ότι κατά μήκος της δοκού υπάρχει γραμμική μεταβολή της γωνίας κλίσης της διατομής (ως προς την ροπή, μπορούμε να βάλουμε στην θέση του άξονα των x στο διάγραμμα (α), το μήκος της δοκού;