Tagliatelle vs. Fusilli - Ποιό ζυμαρικό θα αστοχήσει πρώτο;

[AlexisPap]

Γύρω στις 22°. Φυσικά αυτό το διάγραμμα είναι για συγκεκριμένη διατομή με λόγο πλευράς 1:3. Δεν ισχύει για άλλες δοκούς.

 

Ναι, το διάγραμμα το έφτιαξα να έχει τιμές γωνίας στον άξονα χ... Αλλά, εφόσον το βήμα είναι σταθερό, η αναλογία Δφ/Δl είναι σταθερή και θα μπορούσε ο άξονας χ να εχει τιμές μήκους...

 

Edit: Να ένα ακόμη λάθος! το διάγραμμα δεν ήταν b/h = 1:3, αλλά 1:2,5...

[CostasV]

Φυσικά αυτό το διάγραμμα είναι για συγκεκριμένη διατομή με λόγο πλευράς 1:3. Δεν ισχύει για άλλες δοκούς.

 

Αν θα έπρεπε να υποθέσω, θα έλεγα ότι η θέση (δηλαδή οι 22 deg, που είναι περίπου π/8 δηλαδή στρογγυλός αριθμός (!) ) όπου εμφανίζεται το μέγιστο της απόκλισης στο διάγραμμα (α), είναι ανεξάρτητη από τον λόγο πλευρών (εφόσον μιλάμε για ορθογωνικές διατομές) . Αλλά εάν το έλεγξες, φαίνεται ότι η διαίσθησή μου με απατά.

 

Προσπαθώ, τώρα να καταλάβω το διάγραμμα (β)

 

 

Είναι δυσκολούτσικες οι έννοιες της καμπυλότητας (ακτίνα καμπυλότητας εννοείς φαντάζομαι) και της προβολής τους σε κάποιο άλλο επίπεδο.

Mήπως μπορείς να κάνεις ένα διάγραμμα της προβολής της ελαστικής γραμμής στα δύο σταθερά (όχι αυτά που ακολουθούν την κλίση της διατομής) στο χώρο επίπεδα x-y και x-z;

[AlexisPap]

Αν R η ακτίνα καμπυλότητας, το u=1/R είναι η καμπυλότητα. Έχει τιμή Μ/ΕJ. Μια που είναι η ροπή δια έναν πραγματικό αριθμό την απεικονίζω όπως και την ροπή, με διπλό βέλος, κάθετα στο διάνυσμα του βέλους κάμψης.

 

Μια που μας αρέσουν τα μαθηματικά, ας δούμε το θέμα από αναλυτικής απόψεως:

 

 

Η διατομή έχει πλάτος b και ύψος h = λ*b. Η γωνία που σχηματίζει η ροπή με τον άξονα ψ είναι "φ".

Οι ροπές αδρανείας είναι:

Iz = hb³/12 = λb^4/12 και Iy = bh³/12 = λ³b^4/12 = λ²*Iz

 

οι συνιστώσες καμπυλότητες στους κύριους άξονες είναι:

uyy = Myy/(E*Iy) = M*cos(φ)/(E*Iy) και uzz = Mzz/(E*Iz) = M*sin(φ)/(λ²*Ε*Ιy)

 

Η γωνία θ που σχηματίζει η καμπυλότητα με τον άξονα ψ είναι:

 

Η γωνία ω που σχηματίζει το διάνυσμα της καμπυλότητας με το διάνυσμα της ροπής είναι:

 

Της συνάρτησης αυτής "ω(φ)" είναι το πρώτο από τα διαγράμματα που είχα βάλει στο #17. Όπως φαίνεται η μορφή της συνάρτησης εξαρτάται αποκλειστικά από τον λόγο των πλευρών της διατομής...

Πότε έχουμε μέγιστο; θα χρειαστεί να παραγωγίσουμε ως προς φ...

και να εξισώσουμε με το 0:

 

Ωραία εξίσωση, αλλά δεν ξέρω πως λύνεται, αν λύνεται... Γι αυτό και στο προηγούμενο ερώτημά σου απάντησα αόριστα "γύρω στις 22°". Όποιος ξέρει την λύση ας βοηθήσει...

 

Υ.Γ1: λόγω βιασύνης, μπορεί να έκανα κάποιο λάθος στην παραγοντοποίηση της τελευταίας (και μόνης) εξίσωσης. Αν κάποιος ασχοληθεί, ας προσέξει. Edit: μόλις είδα ότι ο τελευταίος παράγοντας της εξίσωσης έπρεπε να έχει αρνητικό πρόσημο... Προσοχή!

 

Υ.Γ2: Κώστα, προφανώς γράφαμε μαζί... αλλά σε άλλες κατευθύνσεις. Αν δεν σε κάλυψα επανάλαβε...

 

Υ.Γ3: Και μην ξανακούσω σχόλια, ότι το επίπεδο στην "κουβέντα" είναι χαμηλό! :)

[CostasV]

Κώστα, προφανώς γράφαμε μαζί... αλλά σε άλλες κατευθύνσεις. Αν δεν σε κάλυψα επανάλαβε...

 

Γκλουπ, να συνέλθω πρώτα

 

Με κάλυψες 101%.

[mkalliou]

Εγώ πάντως με όλα αυτά τα ζυμαρικά πείνασα, ενώ με τα μαθηματικά ζαλίστηκα! Άντε να ξεκινήσουμε... Ποιος θα βάλει το νερό στην κατσαρόλα;

[CostasV]

Νερό στην κατσαρόλα; Γιατί; Θέλεις ανάλυση της αντοχής κάθε ζυμαρικού ΚΑΙ σε διαφορετικές θερμοκρασίες;

[AlexisPap]

...μία μαθηματική απόδειξη (που δεν μπορώ να δώσω) θα πρόσθετε μία όμορφη πινελιά...

 

Το παραπάνω σκεπτικό δεν είναι απόδειξη. Διότι λόγω της μορφής του φουσίλι δεν ξέρουμε αν ισχύει η επιπεδότητα των διατομών...

 

Λοιπόν, μάλλον δεν θα έχουμε μαθηματική απόδειξη... Είναι προφανές ότι η αρχή Bernoulli δεν ισχύει. Μπορούμε σχετικά εύκολα να δείξουμε ότι η διατομή στρεβλώνεται. Επίσης, μπορούμε με την ίδια μέθοδο που αποδεικνύουμε την ισχύ της αρχής Bernoulli, να δείξουμε ότι η παραμόρφωση της διατομής είναι καθαρή γραμμική στρέβλωση (κατά τον "μεγάλο" άξονα της διατομής).

 

 

Το πρόβλημα είναι ότι δεν έχουμε επίπεδη ένταση και η γεωμετρία του φορέα μας είναι πολύπλοκη. Που σημαίνει ότι το πρόβλημα δεν φαίνεται να έχει αναλυτική λύση. Επομένως περιοριζόμαστε σε φουσίλι με μεγάλο βήμα για το οποίο είναι επαρκής η τεχνική θεωρία της κάμψης... Τα φουσίλι μικρού βήματος μόνο με πεπερασμένα!

 

Για όποιον θέλει να κάνει ανασκόπηση της θεωρίας της ελαστικότητας και των μαθηματικών που την συνοδεύουν, καθώς και να δει πως εφαρμόζεται σε συμμετρικές πρισματικές δοκούς (θεωρώντας επίπεδη ένταση και αξιοποιώντας την αρχή Saint-Venant) προτείνω πρώτο τόμο Τσαμασφύρου...

[Γιάννης]

Νερό στην κατσαρόλα; Γιατί; Θέλεις ανάλυση της αντοχής κάθε ζυμαρικού ΚΑΙ σε διαφορετικές θερμοκρασίες;

 

Ε! Εσείς δεν παίζεστε...

[CostasV]

Εάν όμως περιορίσουμε την συζήτησή μας στον λυγισμό, που αφορά μόνο την ελαστική ισορροπία της δοκού και όχι τον υπολογισμό τοπικών τάσεων ή παραμορφώσεων, θα μπορούσαμε να πούμε ότι, παρόλο που η προϋπόθεση της καθέτου διατομής στον ουδέτερο άξονα (αυτό δεν ζητά ο Bernoulli ; ) δεν ισχύει, ο Euler και η ελαστική του θεωρία για τον λυγισμό συνεχίζουν να ισχύουν;

 

Και ότι το #14 αποτελεί όντως μαθηματική απόδειξη, και ότι το μόνο που λείπει είναι να αποδειχτεί ότι η ροπή αδράνειας της διατομής φουσίλι είναι μεγαλύτερη από την ελάχιστη ροπή αδράνειας της διατομής ταλιατέλα;

 

ΥΓ. Αυτά από έναν μηχανικό που είχε πάρει με καλό μάτι την αντοχή υλικών, αλλά δεν έτυχε να "παίξει" ξανά με εξισώσεις από τότε που τελείωσε την σχολή.

[AlexisPap]

Γιάννη.... αφού τα είπαμε! τα βρασμένα ζυμαρικά δεν υπακούουν στον νόμο του Hook! Μόνο εργαστηριακά μπορείς να τα μελετήσεις:

 

...εργαστήριο αντοχής υλικών για τη σχετική έρευνα:

http://www.stablemicrosystems.com/pasta.htm

 

:):):)

 

CostasV, για να βγάλεις άκρη με τον Euler πρέπει να λύσεις τις εξισώσεις του για το φουσίλι... μάλλον δύσκολο! Όσο για την ελάχιστη ροπή αδρανείας, νομίζω ότι δεν υπάρχει ελάχιστος περιορισμός: όσο το βήμα μικραίνει, πέφτει και η δυσκαμψία...