Σπαζοκεφαλιές.

[Ροδοπουλος]

Υποδείξεις:

 

1) Αντί να προσπαθήσετε να προσδιορίσετε από την αρχή τις ερωτήσεις, αρκεστείτε στο να προσδιορίσετε τις πιθανές απαντήσεις της κάθε ερώτησης. Κάντε έναν πίνακα με τους έξι δυνατούς συνδυασμούς ιδιοτήτων των τριών Σοφών και δίπλα γράψτε τις επιθυμητές απαντήσεις για κάθε αριθμό ερώτησης. Τον Τυχαίο δεν μπορούμε να τον αναγκάσουμε να απαντήσει da ή ja, γι αυτό θα πρέπει να εξετασθούν και τα δύο ενδεχόμενα.

 

2) Όσο λιγότερες ερωτήσεις απευθυνθούν στον Σοφό που είναι ο Τυχαίος τόσο το καλύτερο. Η πρώτη ερώτηση αναπόφευκτα μπορεί να απευθυνθεί στον Τυχαίο. Επειδή δεν έχουμε την πολυτέλεια να κάνουμε και δεύτερη ερώτηση στον Τυχαίο, θα πρέπει βάσει της πρώτης απάντησης να απευθύνουμε τη δεύτερη ερώτηση σε κάποιον που δεν μπορεί να είναι ο Τυχαίος.

 

3) Οι τρεις ερωτήσεις δεν φτάνουν για να προσδιορίσουμε τι σημαίνουν τα da και ja και ταυτόχρονα τις ιδιότητες των Σοφών. Έτσι θα πρέπει να καταλήξουμε στις ιδιότητές τους από τον συνδυασμό των τριών απαντήσεων που θα πάρουμε. Τα δύο είδη των πιθανών απαντήσεων (da ή ja) οδηγούν σε οκτώ διαφορετικούς συνδυασμούς των τριών απαντήσεων. Ο κάθε συνδυασμός απαντήσεων θα πρέπει να καταλήγει σε έναν μόνο συνδυασμό ιδιοτήτων των Σοφών. Αφού οι συνδυασμοί ιδιοτήτων των Σοφών είναι έξι, κάποιοι συνδυασμοί ιδιοτήτων αντιστοιχούν σε περισσότερους από έναν συνδυασμούς απαντήσεων.

 

4) Η πρώτη ερώτηση προφανώς θα απαντηθεί με da ή ja. Για κάθε μία από αυτές τις απαντήσεις θα πρέπει η δεύτερη ερώτηση να απαντιέται με da ή ja. Και για κάθε μία από αυτές τις απαντήσεις θα πρέπει η τρίτη ερώτηση να απαντιέται με da ή ja.

 

5) Θα πρέπει τώρα να προσδιορίσουμε έναν τύπο ερωτήσεων ο οποίος θα δίνει κάποια χρήσιμη πληροφορία, παρόλο που δεν ξέρουμε αν ο Σοφός που ερωτάται είναι ο Ειλικρινής ή ο Ψεύτης (για τον Τυχαίο δεν θα ισχύει) και παρόλο που δεν ξέρουμε τι σημαίνουν τα da και ja. Αν προσδιορίσουμε αυτόν τον τύπο της ερώτησης, μπορούμε να τον χρησιμοποιήσουμε με μικρές αλλαγές μέχρι το τέλος.

 

6) Προσπαθήστε να διατυπώσετε μια ερώτηση που θα περιλαμβάνει μία Συνθήκη η οποία αν είναι αληθής να παίρνουμε πάντα την απάντηση da, ενώ αν είναι ψευδής να παίρνουμε πάντα την απάντηση ja. Υπενθυμίζω πως αυτό θα ισχύει μόνο στην περίπτωση του Ειλικρινή και του Ψεύτη.

 

7) Ένας σχετικά απλός τύπος ερωτήσεων που λειτουργεί, είναι να απευθύνουμε στον Σοφό την ερώτηση: «Αν ισχύει η Συνθήκη τότε θα μου απαντήσεις da;». Η απάντηση που θα πάρουμε εξετάζεται από τον Σοφό σε δύο επίπεδα: ένα ως προς την αλήθεια της Συνθήκης και ένα ως προς το αν η απάντησή του θα είναι da. Συγκεκριμένα η συλλογιστική του Σοφού θα έχει ως εξής:

1ο Επίπεδο: Είναι η Συνθήκη αληθής; ναι / όχι. Ο Σοφός αντιστοιχεί το ναι ή το όχι με da ή ja. Αν λέει αλήθεια διατηρεί την προσωρινή του απάντηση, αλλιώς την αλλάζει.

2ο Επίπεδο: Η προσωρινή του απάντηση είναι da; ναι / όχι. Αντιστοιχεί το ναι ή το όχι με da ή ja. Αν λέει αλήθεια απαντάει αυτό που βρήκε, αλλιώς απαντάει το αντίθετο.

Δηλαδή ο Ψεύτης θα αλλάξει την απάντησή του δύο φορές και θα καταλήξει να απαντήσει αυτό που απάντησε και ο Ειλικρινής. Επίσης αν η Συνθήκη είναι αληθής παίρνουμε πάντα την απάντηση da, ενώ αν είναι ψευδής παίρνουμε πάντα την απάντηση ja.

 

Με τα παραπάνω συμπεράσματα μπορούμε τώρα να φτιάξουμε έναν πίνακα που θα περιλαμβάνει τις κατάλληλες ερωτήσεις. Η δεύτερη και η τρίτη ερώτηση εξαρτώνται από την προηγούμενη απάντηση του Σοφού. Από την πρώτη απάντηση βρίσκουμε ποιος Σοφός δεν είναι ο Τυχαίος (όχι Τ). Από τη δεύτερη απάντηση βρίσκουμε την ιδιότητα του Σοφού που ρωτήθηκε (Ε=Ειλικρινής, Ψ=Ψεύτης). Από την τρίτη απάντηση βρίσκουμε την ιδιότητα όλων των Σοφών, οι οποίες καταγράφονται στην τελευταία στήλη.

[Ροδοπουλος]

Ένας ψαράς θέλει να ταξιδέψει αεροπορικώς μεταφέροντας μαζί του ένα καλάμι ψαρέματος. Δυστυχώς ο υπεύθυνος της εταιρίας του λέει πως το καλάμι του έχει 5 εκατοστά μεγαλύτερο μήκος από αυτό που επιτρέπουν οι κανονισμοί. Ο ψαράς μελέτησε το πρόβλημα και βρήκε έναν τρόπο για να το συσκευάσει χωρίς να το λυγίσει ή να το κοντύνει και χωρίς να παραβεί τους κανονισμούς. Τι έκανε;

[AlexisPap]

Προένταση!

 

Έλαβε ένα κουτί με διαστάσεις, πλάτος-ύψος-μήκος σύμφωνα με τον κανονισμό και το τοποθέτησε διαγωνίως...

[Ροδοπουλος]

AlexisPap σωστός !!

[CostasV]

Α: - Το ξέρω ότι δεν μπορούσες.

Πως το ξέρει; Προφανώς ξέρει ότι οι Χ και Ψ δεν είναι πρώτοι. Άρα το άθροισμά "Α" δεν είναι άθροισμα πρώτων.

 

Αλέξη, διευκρίνισε σε παρακαλώ: Τι είναι αυτό που οδηγεί τον Α στο να πει "Το ξέρω ότι δεν μπορούσες", με μόνο δεδομένο ότι ο Α γνωρίζει τον αριθμό 17;

 

Ρωτώ, διότι το 17 μπορεί να είναι άθροισμα 2+15 ( με γινόμενο το 30, που μπορεί να παραχθεί με τρεις τρόπους (=2Χ15, ή 3Χ10, ή 5Χ6))

ή άθροισμα 3+14 (με γινόμενο 42, τρεις τρόποι (=2Χ21, 3Χ14, 6Χ7)

ή άθροισμα 4+13 (με γινόμενο το 52, δύο τρόποι (=2Χ26, 4Χ13)

ή άθροισμα 5+12 (με γινόμενο το 60 , πέντε τρόποι

ή άθροισμα 6+11

κ.ο.κ

[AlexisPap]

To 17 μπορεί να γραφεί ως:

 

2+15 = 2+3*5

3+14 = 3+2*7

13+4 = 13+2*2

5+12 = 5+2*2*3

11+6 = 11+2*3

7+10 = 7+2*5

8+9 =2*2*2+3*3

 

παρατηρούμε ότι τουλάχιστον ο δεύτερος αριθμός δεν είναι ποτέ πρώτος. Άρα το 17 δεν μπορεί να είναι άθροισμα πρώτων. Άρα ο Α μπορεί να είναι σίγουρος ότι ο Γ δενμπορεί να ξέρει τα Χ, Ψ. Διότι μόνο αν και ο Χ και ο Ψ ήταν πρώτοι θα μπορούσε ο Γ να τους βρει.

[CostasV]

Εντάξει. Χρειάζομαι ακόμη ένα σπρώξιμο...

 

Πάμε τώρα στον Γ.

Οταν ο Γ ακούει την απάντηση από τον Α "Το ξέρω ότι δεν μπορούσες", και με μόνο δεδομένο στα χέρια του Γ τον αριθμό 52, ο Γ θα μπορούσε να υποθέσει ότι ο Α έχει έναν από τους παρακάτω αριθμούς

28 = 2+26 (που πάλι ο Α θα έλεγε "Το ξέρω ότι δεν μπορούσες)

ή τον 17 = 4+13.

 

Τι είναι αυτό που κάνει τον Γ να πει "Τώρα το ξέρω";

[Topap]

Λοιπόν:

 

Πας στους σοφούς και τους ρωτάς:

"Είναι σήμερα Τετάρτη?" (η ημέρα που είναι σήμερα για παράδειγμα)

 

Μετά τους ξαναρωτάς:

"Είναι σήμερα Παρασκευή?"

 

Έχεις κάψει 2 από τις 3 ερωτήσεις έτσι, αλλά τουλάχιστον ξέρεις είτε ποιος είναι αυτός που λέει αλήθεια είτε ψέματα. Αυτό επαληθεύεται ως εξής:

 

Είναι σήμερα Τετάρτη?

Da = Ναι

Σοφός Α: Ν Ν

Σοφός Β: Ο Ο

Σοφός Γ: Ν Ο

Ja = Όχι

Σοφός Α: Ο Ο

Σοφός Β: Ν Ν

Σοφός Γ: Ο Ν

 

Είναι σήμερα Παρασκευή?

Da = Όχι

Σοφός Α: Ο Ο

Σοφός Β: Ν Ν

Σοφός Γ: Ο Ν

Ja = Ναι

Σοφός Α: Ν Ν

Σοφός Β: Ο Ο

Σοφός Γ: Ν Ο

 

Έστω ότι οι απαντήσεις είναι:

Είναι σήμερα Τετάρτη?

Α: Ν

Β: Ο

Γ: Ν

Είναι σήμερα Παρασκευή?

Α: Ο

Β: Ν

Γ: Ο

Άρα ο Σοφός Β λέει ψέματα.

 

Έστω ότι οι απαντήσεις είναι:

Είναι σήμερα Τετάρτη?

Α: Ν

Β: Ο

Γ: Ο

Είναι σήμερα Παρασκευή?

Α: Ο

Β: Ν

Γ: Ν

Άρα ο Σοφός Α λέει αλήθεια.

 

 

Έστω ότι οι απαντήσεις είναι:

Είναι σήμερα Τετάρτη?

Α: Ο

Β: Ν

Γ: Ο

Είναι σήμερα Παρασκευή?

Α: Ν

Β: Ο

Γ: Ν

Άρα ο Σοφός Β λέει ψέματα.

 

Έστω ότι οι απαντήσεις είναι:

Είναι σήμερα Τετάρτη?

Α: Ο

Β: Ν

Γ: Ν

Είναι σήμερα Παρασκευή?

Α: Ν

Β: Ο

Γ: Ο

Άρα ο Σοφός Α λέει αλήθεια.

 

 

Αναλόγως ποιον έχεις βρει, πας και τον ρωτάς:

"Ο σοφός Τάδε είναι αυτός που λέει ψέματα?"

 

Αν είχες βρει τον σοφό που λέει αλήθεια θα σου πει την αλήθεια, άρα τους έχεις βρει όλους.

Αν είχες βρει τον σοφό που λέει ψέματα θα σου πει ψέματα, άρα πάλι τους έχεις βρει όλους.

 

Για παράδειγμα:

Εάν έχεις βρει αυτόν που λέει αλήθεια τον ρωτάς: Ο σοφός Β είναι αυτός που λέει ψέματα?

Αν σου πει Ναι, τότε ξέρεις πλέον και αυτόν που λέει ψέματα και αυτόν που απαντά στη τύχη.

 

Εάν έχεις βρει αυτόν που λέει ψέματα τον ρωτάς: Ο σοφός Α είναι αυτός που λέει αλήθεια?

Αν σου πει Ναι, τότε καθώς θα ψεύδεται, ο σοφός Α θα είναι αυτός που απαντά στην τύχη και ο Γ αυτός που λέει αλήθεια.

 

 

 

Και όλα αυτά με 7 ερωτήσεις...

[AlexisPap]

Οταν ο Γ ακούει την απάντηση από τον Α "Το ξέρω ότι δεν μπορούσες", και με μόνο δεδομένο στα χέρια του Γ τον αριθμό 52, ο Γ θα μπορούσε να υποθέσει ότι ο Α έχει έναν από τους παρακάτω αριθμούς

28 = 2+26 (που πάλι ο Α θα έλεγε "Το ξέρω ότι δεν μπορούσες)

ή τον 17 = 4+13.

 

Τι είναι αυτό που κάνει τον Γ να πει "Τώρα το ξέρω";

 

Ο Γ ήξερε ότι τα πιθανά ζεύγη είναι τα {2,26} και {4,13} από την αρχή. Όταν όμως ακούει τον Α να λέει πως ήξερε ότι ο Γ δεν μπορούσε να βρει τους αριθμούς, συμπεραίνει ότι το άθροισμα δεν πρέπει να είναι άθροισμα πρώτων, άρα πρέπει να ανήκει στο σύνολο {11, 17, 23, 27, 29, 35, 37}. Και αυτό ισχύει μόνο για το ζεύγος {4,13}.

[Lat]

Βρείτε τον επόμενο αριθμο :

 

1

11

21

1211

111221