Δεξαμενή γεμίζει και αδειάζει ταυτόχρονα

[JohnG.]

Θέλω να με βοηθήσει κάποιος στον παρακάτω υπολογισμό.
Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μια δεξαμενή που περιέχει νερό. Γεμίζει με αλκοόλη (κάποιο υγρό που αναμιγνύεται με το νερό) και αδειάζει ταυτόχρονα (η στάθμη της παραμένει πάντα η ίδια, δηλαδή περιέχει συνεχώς τον ίδιο όγκο). Όταν γεμίσει με ποσότητα νερού το μισό του όγκου της, ποιά θα είναι η αναλογία αλκοόλης/νερού στη δεξαμενή;
Είναι ένας υπολογισμός που δεν γνωρίζω να κάνω.

Edited Σεπτέμβριος 26 , 2018 by JohnG.

[maneni]

ξαναδιατυπωσε την ερωτηση γιατι δεν βγαινει νοημα.

περιεχει νερο, γεμιζει αλκοολη, σταθμη σταθερη, οταν γεμισει στο μισο...

[JohnG.]

Παράδειγμα. Μια δεξαμενή περιέχει 1000 lt νερό. Υπάρχει κάνουλα που την ανοίγουμε για να αδειάζει. Όσο όμως αδειάζει η στάθμη της παραμένει σταθερη γιατί γεμίζει ταυτόχρονα με αλκοόλη.
Όταν θα έχουμε εισάγει 500 lt αλκοόλης πόση θα είναι η αναλογία νερόυ/αλκοόλης στο εσωτερικό της;
(Υποθέτουμε πάντα ότι στο εσωτρικό της υπάρχει ανάμιξη και σε όλα τα σημεία της δεξαμενής αναλογία νερού/αλκοόλης είναι ίδια).

Edited Σεπτέμβριος 26 , 2018 by JohnG.

[astrah]

προφανώς 500lt.... 50-50%

[JohnG.]

Δεν είναι έτσι. Έτσι θα ήταν αν άδειαζε 500lt νερό και γέμιζε με 500lt αλκοόλη. Στο παράδειγμα που δίνω χάνεται συνεχώς και ποσότητα αλκοόλης.

[astrah]

Τότε, διατύπωσες λάθος την ερώτηση...

 

 

Edited Σεπτέμβριος 27 , 2018 by astrah

[CivilKald]

Μιας και έχω ιδιαίτερη αδυναμία στο process engineering μπήκα στον κόπο να απαντήσω αναλυτικά: 

 

Έστω C(t): συγκέντρωση αλκοόλης εντός της δεξαμενής σε χρόνο t (για ιδανική πλήρη μίξη η συγκέντρωση στην έξοδο είναι ίση με αυτή εντός της δεξαμενής)

          Cin: Εισερχόμενη συγκέντρωση αλκοόλης (σταθερή στο χρόνο)    

           V: όγκος δεξαμενής

           Q: παροχή εισόδου = παροχή εξόδου (σταθερή στο χρόνο)

  Εφαρμόζοντας ισοζύγιο μάζας αλκοόλης στο σύστημα είσοδος-έξοδος-δεξαμενή και θεωρώντας πλήρη μίξη:

(Μάζα στην είσοδο-σταθερή στο χρόνο) = (Μάζα στην δεξαμενή - μεταβαλόμενη με το χρόνο) + (Μάζα στην έξοδο - μεταβαλόμενη με το χρόνο)

Min = dM(t)/dt + M(t), όπου Μ: μάζα αλκοόλης και M(t)=C(t)*Q

Cin * Q = dC(t)/dt*V + C(t)*Q

dC(t)/dt = -Q/V*C(t) + Q/V*Cin

Διαφορική εξίσωση 1ου βαθμού της μορφής dx(t)/dt= a*x(t) + b, όπου a=-Q/V και b=Q/V*Cin

Λύση διαφορικής: C(t)= - (exp[a*t-k*a] - b) / a , όπου k: σταθερά (υπολογίζεται από μια οριακή συνθήκη)

Οριακή συνθήκη: για t=0 (αμέσως πριν την παροχέτευση αλκοόλης) --> C(t)=C(0)=0 =>  - (exp[a*0-k*a] - b) / a = 0 => k=-lnb/a

Αντικαθιστώντας το k στην εξίσωση C(t) και κάνοντας πράξεις:

C(t) = Cin * (1 - exp[-Q/V*t])

Συνεπώς χρειάζεται να προσδιορίσεις ΚΑΙ την παροχή της αλκοόλης στη δεξαμενή. Ωστόσο επειδή θες την C(t) για δεδομένο εισερχόμενο όγκο, είναι πρακτικά ισοδύναμο με το να έχεις δώσει και την παροχή (π.χ. θες την C(t) στον όποιο χρόνο χρειάζεται για να μπουν Vin=500lt αλκοόλης).

Άρα t=Vin/Q και αντικαθιστώντας η παροχή Q απαλείφεται:

C(Vin/Q) = Cin * (1 - exp[-Vin/V])

Παράδειγμα εφαρμογής

όγκος δεξαμενής V=1000lt

όγκος αλκοόλης Vin=500lt

C(Vin/Q)=Cin * (1 - exp[-500/1000]) = 0.393*Cin

Δηλαδή μετά τα πρώτα 500lt αλκοόλης στην δεξαμενή θα έχεις στην έξοδο διάλυμα περίπου 40% alc/vol (alcohol by volume) 

Σα να λέμε βότκα δηλαδή ! Στην υγειά σου!

Edited Σεπτέμβριος 27 , 2018 by CivilKald

[antloukidis]

Πολύ ωραίο πρόβλημα, αλλά και η λύση του!

Συγχαρητήρια συνάδελφε! (αν θυμόμουν τα περί διαφορικών εξισώσεων θα...το είχα προσπαθήσει!)

 

[JohnG.]

On 27/9/2018 at 10:38 ΜΜ, CivilKald said:

C(Vin/Q)=Cin * (1 - exp[-500/1000]) = 0.393*Cin

Σα να λέμε βότκα δηλαδή ! Στην υγειά σου!

Ευχαριστώ πολύ. Εγώ κρατάω αυτό. Τους υπολογισμούς δεν μπορώ να τους καταλάβω.
Για να σιγουρευτώ 100% ότι κάνω σωστούς υπολογισμούς:  Αν ο όγκος της δεξαμενής είναι 100lt και εισάγω 230lt αλκοόλης, θα έχω στη δεξαμενή 90% αλκοόλη. Σωστά;
Πραγματικά είναι πολύ ενδιαφέρον αυτό το αποτέλεσμα για μένα. Δεν περίμενα να είναι τόσο υψηλό, περίμενα γύρω στο 50%.

Edited Σεπτέμβριος 29 , 2018 by JohnG.

[CivilKald]

Σωστά εσύ κρατάς μόνο τον τύπο:

[Συγκέντρωση στη δεξαμενή] = 1 - exp[εισερχόμενος όγκος/όγκος δεξαμενής]

Παραθέτω και ένα διάγραμμα για γρήγορα αποτελέσματα.

'Ενδιαφέροντες' παρατηρήσεις:

- Για να πιάσεις 50% συγκέντρωση αλκοόλης πρέπει να ρίξεις περίπου 70% του όγκου της δεξαμενής σε αλκοόλη

- Για να πιάσεις 100% συγκέντρωση αλκοόλης πρέπει να ρίξεις τουλάχιστον 5 φορές (500%) τον όγκο της δεξαμενής σε αλκοόλη!

Από περιέργεια γιατί σε ενδιαφέρουν οι υπολογισμοί - δε φαίνεται πολύ οικονομική διαδικασία!

Edited Σεπτέμβριος 29 , 2018 by CivilKald